\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}

SU(2)SU(2) 表示论

有限群表示论回顾

有限群表示论回顾

  • 群表示的定义：表示空间，群同态
  • 基底、表示矩阵、特征标
  • 忠实、幺正、可约、不可约
  • 舒尔引理

有限群表示论回顾

  • Schur 定理：设 GG 是群 (有限或无限)。

    • R1,R2\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2 是 GG 的两个不可约表示，表示空间分别为 V1,V2V_1, V_2
    • 设 X:V1→V2X: V_1 \to V_2 是线性映射 (可逆或不可逆)，且有关系

      R2(g)X=XR1(g)∀g∈G\mathcal{R}_2(g) X = X \mathcal{R}_1(g) \qquad \forall g \in G

  • 则有如下结论，

    • 若 R1,R2\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2 不等价，则必然 X=0:V1→V2X = 0: V_1 \to V_2
    • 反之，一旦 X≠0X \ne 0，则必然 R1,R2\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2 等价，XX 可逆

有限群表示论回顾

  • 舒尔引理：设 R\mathcal{R} 是 GG 的不可约、复表示，表示空间为 VV。设 X:V→VX: V \to V 是 VV 到自身的线性映射，且满足

    R(g)X=XR(g)∀g∈G\mathcal{R}(g)X = X \mathcal{R}(g) \qquad \forall g \in G

    则 X=λid⁡X = \lambda \operatorname{id}，λ∈C\lambda \in \mathbb{C} (包括 λ=0\lambda = 0，即 X=0X = 0)。

有限群表示论回顾

  • 表示矩阵 R(g)\mathcal{R}(g) 的矩阵元

    R(g)ei=∑jnR(g)ijejn=dim⁡R\mathcal{R}(g) e_i = \sum_{j}^{n} \mathcal{R}(g)_{ij} e_j \qquad n = \dim \mathcal{R}

  • 特征标

    χR(g)≔tr⁡R(g)\chi_\mathcal{R}(g) \coloneqq \operatorname{tr} \mathcal{R}(g)

有限群表示论回顾

  • 表示矩阵的矩阵元形成群函数空间的完备基底

    f(g)=∑α∑ijfijαRij(α)(g)f(g) = \sum_{\alpha}\sum_{ij} f_{ij}^\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}_{ij}(g)

  • 特征标形成类函数空间的完备基底

    f([g])=∑αfαχR(α)([g])f([g]) = \sum_{\alpha} f_\alpha \chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}([g])

有限群表示论回顾

  • 有限群表示矩阵元与特征标的正交归一关系

    ⟨Ri~j~(β)∣Rij(α)⟩=1∣G∣∑gR(α)(g)ijR(β)(g)i~j~‾=1dim⁡R(α)δαβδii~δjj~\langle \mathcal{R}^{(\beta)}_{\tilde i \tilde j}|\mathcal{R}^{(\alpha)}_{ij}\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g \mathcal{R}^{(\alpha)}(g)_{ij} \overline{\mathcal{R}^{(\beta)}(g)_{\tilde i \tilde j}} = \frac{1}{\dim \mathcal{R}^{(\alpha)}}\delta_{\alpha \beta} \delta_{i\tilde i}\delta_{j\tilde j }

    ⟨χR(α)∣χR(β)⟩=1∣G∣∑gχR(α)(g)χR(β)(g)‾=δαβ\langle \chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}|\chi_{\mathcal{R}^{(\beta)}}\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g}\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}} (g) \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\beta)}}(g)} = \delta_{\alpha \beta}

  • 判断表示是否不可约表示的充要条件

    ⟨χR∣χR⟩=1∣G∣∑g∣χR(g)∣2=1\langle \chi_\mathcal{R}|\chi_{\mathcal{R}}\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g} |\chi_\mathcal{R}(g)|^2 = 1

李群积分与 Haar 测度

李群积分

  • 对所有群元求和 (sum over group elements) 是很重要的操作：群函数、类函数的内积，正交归一关系

    1∣G∣∑g∈Gf(g)\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} f(g)

  • 由于群结构，对群元求和有两个关键性质

李群积分

  • 离散群 GG：

    1∣G∣∑g∈Gf(g)f:G→C\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}f(g) \qquad f: G \to \mathbb{C}

    平移不变性

    上述求和具有左右平移不变性：对任意固定的 hh 和任意 ff，

    1∣G∣∑gf(gh)= 1∣G∣∑all (g′h−1)f(g′)=1∣G∣∑all g′f(g′)1∣G∣∑gf(hg)= 1∣G∣∑all (h−1g′)f(g′)=1∣G∣∑all g′f(g′)\begin{align*} \frac{1}{|G|} \sum_{g} f({\color{green}gh}) = & \ \frac{1}{|G|} \sum_{\text{all} ~ (g'h^{-1})} f({\color{green}g'}) = \frac{1}{|G|}\sum_{\text{all}~g'}f(g')\\ \frac{1}{|G|} \sum_{g} f({\color{green}hg}) = & \ \frac{1}{|G|} \sum_{\text{all} ~ (h^{-1}g')} f({\color{green}g'}) = \frac{1}{|G|}\sum_{\text{all}~g'}f(g') \end{align*}

李群积分

  • 离散群 GG：

    1∣G∣∑g∈Gf(g)f:G→C\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}f(g) \qquad f: G \to \mathbb{C}

    归一化
    当 f(g)=1f(g) = 1，则

    1∣G∣∑g∈G1=1\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} 1 = 1

李群积分

  • 对于紧李群：求和变积分

    ∫G[dg]f(g)=∫dnx⏟李群上某坐标J(x1,…,xn)⏟Jacobi 矩阵行列式f(x1,…,xn)\int_G {\color{orange}[dg]} f(g) = \int \underbrace{\color{orange}d^n x}_\text{李群上某坐标} \underbrace{{\color{orange}J(x_1, \ldots, x_n)}}_\text{Jacobi 矩阵行列式} f(x_1, \ldots, x_n)

  • 要求归一化

    ∫G[dg]=∫dnxJ(x1,…,xn)=1\int_G [dg] = \int d^n x J(x_1, \ldots, x_n) = 1

  • 以及左右平移不变性

    ∫G[dg]f(hg)=∫G[dg]f(gh)=∫G[dg]f(g)∀f,∀h∈G\int_G [dg]f(hg) = \int_G [dg] f(gh) = \int_G [dg]f(g) \quad \forall f, \forall h \in G

Haar 积分测度

  • 满足归一化条件与左右不变性的李群积分测度 [dg]=dnxJ(x)[dg] = d^n x J(x) 称为Haar 积分测度

  • 对任意李群，Haar 测度都是唯一的，只要找到一个就可以收工了。

U(1)U(1) Haar 积分测度

  • 考虑 U(1)={u=eiθ ∣ θ∈[0,2π]}U(1) = \{u = e^{i \theta} \ | \ \theta \in [0, 2\pi]\}

  • 定理

    ∫U(1)[du]f(u)=∫02πdθ2πf(eiθ)\int_{U(1)} {\color{orange}[du]} f(u) = \int_0^{2\pi} {\color{orange}\frac{d\theta}{2\pi}} f(e^{i\theta})

    Haar 测度
    显然有归一性

    ∫U(1)[du]=∫02πdθ2π=1\int_{U(1)}[du] = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} = 1

U(1)U(1) Haar 积分测度

  • 考虑 U(1)={u=eiθ ∣ θ∈[0,2π]}U(1) = \{u = e^{i \theta} \ | \ \theta \in [0, 2\pi]\}

  • 定理

    ∫U(1)[du]f(u)=∫02πdθ2πf(eiθ)\int_{U(1)} {\color{orange}[du]} f(u) = \int_0^{2\pi} {\color{orange}\frac{d\theta}{2\pi}} f(e^{i\theta})

U(1)U(1) Haar 积分测度

Haar 测度
左右平移不变性 (利用 eiθe^{i\theta} 的 2π2\pi 周期性)

∫U(1)[du]f(u0u)= ∫02πdθ2πf(ei(θ0+θ))=∫θ02π+θ0dθ2πf(eiθ)= ∫02πdθ2πf(eiθ)=∫U(1)[du]f(u)\begin{align*} \int_{U(1)}[du]f(u_0 u) = & \ \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2\pi} f(e^{i(\theta_0 + \theta)}) = \int_{\theta_0}^{2\pi + \theta_0}\frac{d\theta}{2\pi}f(e^{i \theta})\\ = & \ \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2\pi} f(e^{i\theta}) = \int_{U(1)}[du]f(u) \end{align*}

SU(2)SU(2) Haar 积分测度

  • 定理：对于 SU(2)SU(2)，Haar 测度由下面公式给出，

     ∫SU(2)[dU]f(U)= 14π2∫02πdφ∫0πsin⁡θdθ∫02πsin⁡2ω2dωf(U(n⃗,ω))\begin{align*} & \ \int_{SU(2)} [dU]f(U)\\ = & \ \frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi} d\varphi\int_0^{\pi} \sin \theta d\theta \int_0^{2\pi}\sin^2\frac{\omega}{2}d\omega f(U(\vec n, \omega)) \end{align*}

    这其实是 (2π2)−1×(2\pi^2)^{-1} \times 单位三维球面 S3S^3 的标准体积积分。

Sr=13S^3_{r = 1} 面积

  • 三维球面可以用球坐标表达 (ω∈[0,2π],θ∈[0,π],φ∈[0,2π]\omega \in [0, 2\pi], \theta \in [0,\pi], \varphi \in [0,2\pi])

    x1= rsin⁡ω2sin⁡θcos⁡φ,x2= rsin⁡ω2sin⁡θsin⁡φx3= rsin⁡ω2cos⁡θ,x4= rcos⁡ω2\begin{align*} x_1 = & \ r\sin\frac{\omega}{2}\sin\theta \cos\varphi, & x_2 = & \ r\sin\frac{\omega}{2}\sin\theta \sin \varphi\\ x_3 = & \ r\sin\frac{\omega}{2}\cos\theta, & x_4 = & \ r\cos\frac{\omega}{2} \end{align*}

  • R4\mathbb{R}^4 中的体积元为 (分离出 (4π2)−1(4\pi^2)^{-1})

    d4x= det⁡∂(x1,x2,x3x4)∂(ω,θ,φ,r)dωdθdφdr= 2π2r314π2sin⁡θsin⁡2ω2dφdθdωdr\begin{align*} d^4 x = & \ \det\frac{\partial (x_1, x_2, x_3 x_4)}{\partial(\omega, \theta, \varphi, r)} d\omega d\theta d\varphi dr\\ = & \ 2\pi^2r^3 {\color{orange}\frac{1}{4\pi^2} \sin \theta \sin^2 \frac{\omega}{2} d\varphi d\theta d\omega} dr \end{align*}

Sr=13S^3_{r = 1} 面积

  • R4\mathbb{R}^4 体积元

    d4x=2π2r314π2sin⁡θsin⁡2ω2dφdθdωdrd^4 x = 2\pi^2r^3 {\color{orange}\frac{1}{4\pi^2} \sin \theta \sin^2 \frac{\omega}{2} d\varphi d\theta d\omega} dr

  • 单位 (r=1r = 1) 三维球面体积元

    dVS3=2π214π2sin⁡θsin⁡2ω2dφdθdω=2π2[dU]dV_{S^3} = 2\pi^2 {\color{orange}\frac{1}{4\pi^2} \sin \theta \sin^2 \frac{\omega}{2} d\varphi d\theta d\omega} = 2\pi^2 {\color{orange}[dU]}

  • Haar 积分体积元

    [dU]=12π2dVS3[dU] = \frac{1}{2\pi^2} dV_{S^3}

SU(2)SU(2) Haar 积分测度

  • 倘若被积函数 f(U)f(U) 是类函数，比如特征标，则 ff 实际上只依赖 ω\omega

    f(U(n⃗,ω))=f(ω)f(U(\vec n, \omega)) = f(\omega)

  • 此时 Haar 积分可以被简化

    ∫SU(2)[dU]f(U)= 14π2∫02πsin⁡2ω2dω∫0πdθsin⁡θ∫02πdφf(ω)= 2π×24π2∫02πsin⁡2ω2f(ω)dω= 1π∫02πsin⁡2ω2f(ω)dω\begin{align*} \int_{SU(2)}[dU] f(U) = & \ \frac{1}{4\pi^2} \int_0^{2\pi} \sin^2\frac{\omega}{2} d\omega \int_0^\pi d\theta \sin \theta \int_0^{2\pi}d\varphi f(\omega)\\ = & \ \frac{2\pi \times 2}{4\pi^2} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2}f(\omega)d\omega\\ = & \ \purple{\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2}f(\omega) d\omega} \end{align*}

SU(2)SU(2) Haar 积分测度

  • 定理：SU(2)SU(2) 表示 R\mathcal{R} 是不可约表示的充分必要条件是

    ∫SU(2)[dU]χR(U)χR(U)‾=1\int_{SU(2)} [dU] \chi_\mathcal{R}(U) \overline{\chi_\mathcal{R}(U)} = 1

  • 定理：若 R\mathcal{R}，R′\mathcal{R}' 是 SU(2)SU(2) 的不等价的不可约表示，则

    ∫SU(2)[dU]χR(U)χR′(U)‾=0\int_{SU(2)} [dU] \chi_\mathcal{R}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}'}(U)} = 0

  • 两个定理不作证明

SU(2)SU(2) 表示论

SU(2)SU(2) 的表示

  • SU(2)SU(2) 天然线性地作用在 C2\mathbb{C}^2 上：对任意 U∈SU(2)U\in SU(2)

    (zw)→U(z′w′)=(ab−bˉaˉ)(zw)(zw)→U−1(z′′w′′)=(aˉ−bbˉa)(zw)\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \xrightarrow{U} \begin{pmatrix} z' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ - \bar b & \bar a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \xrightarrow{U^{-1}} \begin{pmatrix} z'' \\ w'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar a & - b \\ \bar b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}

    C2\mathbb{C}^2
    上述 SU(2)SU(2) 对 C2\mathbb{C}^2 的天然作用其实就形成了一个最基本的表示。见下文。

SU(2)SU(2) 的表示

  • 考虑 z,wz, w 的 nn-次齐次 多项式函数 ff

    f(zw)=∑k=0nakzn−kwkf \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \sum_{k = 0}^{n}a_kz^{n - k} w^{k}

  • 以 z,wz, w 为自变量的全体 nn-齐次多项式构成复线性空间 Cn+1\mathbb{C}^{n + 1}

SU(2)SU(2) 的表示

  • 定义 UU 对函数 ff 的线性作用 f→Uff \to Uf，

    f(zw)→U(Uf)⏟新函数(zw)≔f(U−1(zw))f \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \xrightarrow{U} \underbrace{{\color{green}(Uf)}}_\text{新函数}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \coloneqq f\left(U^{-1}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}\right)

    逆

    • UU 作用在“函数(名) ff”上，不是作用“函数值”上：把一个函数变成另一个函数
    • U−1U^{-1} 作用在 ff 的整个宗量 (zw)(\substack{z\\w}) 上

SU(2)SU(2) 的表示

  • 定理：上述作用构成线性群作用，是群 SU(2)SU(2) 的线性表示

    群作用
    检查保群乘法性：U1,U2U_1, U_2 先后作用等于 U1U2U_1 U_2 一次作用

    (U1(U2f))(zw)= (U2f)(U1−1(zw))= f(U2−1U1−1(zw))=f((U1U2)−1(zw))= ((U1U2)f)(zw)\begin{align*} (U_1 {\color{orange}(U_2 f)}) \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = & \ {\color{orange}(U_2f)}\left(U_1^{-1}\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix}\right)\\ = & \ f\left( U_2^{-1}U_1^{-1} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \right) = f\left( (U_1U_2)^{-1} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \right)\\ = & \ \Big((U_1U_2)f \Big) \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \end{align*}

SU(2)SU(2) 的表示

  • 定义：上述 SU(2)SU(2) 对 Cn+1\mathbb{C}^{n + 1} 的作用记为 线性表示 R(n)\mathcal{R}^{(n)}。

  • 选择 Cn+1\mathbb{C}^{n + 1} 基底为一组 n+1n+1 个单项式 ψk\psi_k，ψk(zw)≔zn−kwk\psi_k(\substack{z\\w}) \coloneqq z^{n - k}w^k，

    ψ0(zw)=zn, ψ1(zw)=zn−1w, ψ2(zw)=zn−2w2, …, ψn(zw)=wn\psi_0\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = z^n, \ \psi_1\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = z^{n - 1}w, \ \psi_2\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = z^{n - 2}w^2, \ \ldots, \ \psi_n\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = w^n

    例
    当 n=1n = 1，ψ0(zw)=z\psi_0\big(\substack{z\\w}\big) = z，ψ1(zw)=w\psi_1\big(\substack{z\\w}\big) = w。

    当 n=2n = 2，ψ0(zw)=z2\psi_0\big(\substack{z\\w}\big) = z^2，ψ1(zw)=zw\psi_1\big(\substack{z\\w}\big) = z w，ψ2(zw)=w2\psi_2\big(\substack{z\\w}\big) = w^2。

SU(2)SU(2) 的表示

  • 例子：取 U=U(e⃗3,ω)U = U(\vec e_3, \omega)，则

    U−1(zw)=(e−i2ωe+i2ω)(zw)=(e−i2ωze+i2ωw)U^{-1}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}\omega} \\ & e^{+ \frac{i}{2}\omega} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}\omega}z \\ e^{+ \frac{i}{2}\omega} w \end{pmatrix}

  • 于是，在 UU 作用下，基底 ψk\psi_k 发生变化，

    (Uψk)(zw)= ψk(U−1(zw))=ψk(e−i2ωze+i2ωw)= (e−i2ωz)n−k(e+i2ωw)k=e+i2ω(2k−n)ψk(zw)\begin{align*} (U\psi_k)\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = & \ \psi_k \left(U^{-1}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}\right) = \psi_k \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}\omega}z \\ e^{+ \frac{i}{2}\omega}w \end{pmatrix}\\ = & \ (e^{- \frac{i}{2}\omega}z)^{n - k} (e^{+ \frac{i}{2}\omega}w)^k = e^{+ \frac{i}{2}\omega(2k - n)} \psi_k\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} \end{align*}

SU(2)SU(2) 的表示

  • 即

    R(n)(U(e⃗3,ω))ψk=ei2ω(2k−n)ψk\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega)) \psi_k = e^{\frac{\text{i}}{2}\omega(2k - n)}\psi_k

  • 因此，相应的表示矩阵 (的矩阵元)

    R(n)(U(e⃗3,ω))kℓ=δkℓei2ω(2k−n)\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega))_{k \ell} = \delta_{k \ell} e^{ \frac{\text{i}}{2}\omega(2k - n)}

SU(2)SU(2) 的表示

  • 如果按照 ψ0,ψ1,⋯ ,ψn\psi_0, \psi_1, \cdots, \psi_n 排列基底，则得到表示矩阵

    R(n)(U(e⃗3,ω))=(e−i2nωei2ω(2−n)⋱e+i2nω)\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}n\omega}\\ & e^{\frac{i}{2}\omega(2 - n)} \\ & & \ddots \\ &&& e^{+\frac{i}{2}n\omega} \end{pmatrix}

  • 如果按照 ψn,ψn−1,⋯ ,ψ0\psi_n, \psi_{n - 1}, \cdots, \psi_0 排列基底，则得到表示矩阵

    R(n)(U(e⃗3,ω))=(e+i2nωe+i2ω(n−2)⋱e−i2nω)\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{+ \frac{i}{2}n\omega}\\ & e^{+ \frac{i}{2}\omega(n - 2)} \\ & & \ddots \\ &&& e^{-\frac{i}{2}n\omega} \end{pmatrix}

SU(2)SU(2) 的表示

  • 物理学家常用记号替代 n,kn, k：

    自旋 j≔n2j \coloneqq \frac{n}{2}，

    j=0,12,1,32,2,…∈12Nj = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots \in \frac{1}{2}\mathbb{N}

    磁量子数 m=12(2k−n)m = \frac{1}{2}(2k - n)，

    m=−j,−j+1,…,j−1,jm = -j, -j + 1, \ldots, j - 1, j

  • 重新标记 Rj≔R(n=2j)\mathcal{R}_j \coloneqq \mathcal{R}^{(n = 2j)}，dim⁡Rj=n+1=2j+1\dim \mathcal{R}_j = n + 1 = 2j + 1

SU(2)SU(2) 的表示

  • 旧基底 ψk=0,1,…,n=zn−kwk\psi_{k = 0, 1, \ldots, n} = z^{n - k}w^k 重新命名为

    ψjm≔#zj−mwj+m\psi_{jm}\coloneqq \# z^{j - m}w^{j + m}

    基底
    当 j=12j = \frac{1}{2}，ψ12,−12=z12−(−12)w12−12=z\psi_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} w^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = z，ψ12,12=w\psi_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} = w。

    当 j=1j = 1，

    ψ1,−1=z2ψ1,0=zwψ1,1=w2\psi_{1, -1} = z^2 \qquad \psi_{1, 0} = z w \qquad \psi_{1, 1} = w^2

SU(2)SU(2) 的表示

  • 新基底下，表示矩阵

    Rj(U(e⃗3,ω))ψjm=eimωψjmR_j(U(\vec e_3, \omega)) \psi_{jm} = e^{\text{i} m\omega}\psi_{jm}

    按照 (ψj,j,ψj,j−1,…,ψj,−j+1,ψj,−j)(\psi_{j,j}, \psi_{j,j - 1}, \ldots, \psi_{j, -j+1}, \psi_{j, -j}) 排列，

    Rj(U(e⃗3,ω))=(eijωei(j−1)ω⋱e−i(j−1)ωe−ijω)\mathcal{R}_j(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{\text{i}j\omega}\\ & e^{\text{i}(j - 1)\omega}\\ && \ddots\\ &&& e^{-\text{i}(j - 1)\omega}\\ &&&& e^{-\text{i}j\omega} \end{pmatrix}

SU(2)SU(2) 的表示

排列顺序

如果反过来排列 (ψj,−j,⋯ ,ψj,j)(\psi_{j, -j}, \cdots, \psi_{j, j})，则矩阵变成

Rj(U(e⃗3,ω))=(e−ijωe−i(j−1)ω⋱ei(j−1)ωeijω)\mathcal{R}_j(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{-\text{i}j\omega}\\ & e^{-\text{i}(j - 1)\omega}\\ && \ddots\\ &&& e^{\text{i}(j - 1)\omega}\\ &&&& e^{\text{i}j\omega} \end{pmatrix}

特征标

  • 考虑上述表示 Rj\mathcal{R}_j

    χRj(U(n⃗,ω))= χRj(U(e⃗3,ω))=tr⁡diag⁡(eimω ∣ m=−j,…,j)= ∑m=−jjeimω=e−ijω(1−eiω(2j+1))1−eiω= e−ijω−eiω(j+1)1−eiω=e−i(j+12)ω−ei(j+12)ωe−iω2−e+iω2= sin⁡(j+12)ωsin⁡12ω\begin{align*} \chi_{\mathcal{R}_j}(U(\vec n, \omega)) = & \ \chi_{\mathcal{R}_j}(U(\vec e_3, \omega)) = \operatorname{tr}\operatorname{diag}(e^{\text{i} m \omega} \ | \ m = -j, \ldots, j)\\ = & \ \sum_{m = -j}^{j}e^{im \omega} = \frac{e^{-\text{i} j \omega}(1 - e^{\text{i}\omega(2j + 1)})}{1 - e^{\text{i} \omega}}\\ = & \ \frac{e^{-\text{i} j \omega} - e^{\text{i}\omega(j + 1)}}{1 - e^{\text{i} \omega}} = \frac{e^{- \text{i} (j + \frac{1}{2})\omega} - e^{\text{i} (j + \frac{1}{2})\omega}}{e^{- \text{i}\frac{\omega}{2}} - e^{+ \text{i}\frac{\omega}{2}}}\\ = & \ \frac{\sin(j + \frac{1}{2})\omega}{\sin\frac{1}{2}\omega} \end{align*}

  • 只与 ω\omega 有关：特征标是类函数

正交归一

  • 检查等价性与可约性：类函数 Haar 积分，j1,j2∈12Nj_1, j_2 \in \frac{1}{2}\mathbb{N}

     1π∫02πsin⁡2ω2dωχRj1(ω)χRj2(ω)‾= 1π∫02πsin⁡2ω2dωsin⁡(j1+12)ωsin⁡ω2sin⁡(j2+12)ωsin⁡ω2= {12π[sin⁡2π(j1−j2)j1−j2−sin⁡2π(j1+j2)1+j1+j2]=0,j1≠j21,j1=j2\begin{align*} & \ \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2} d\omega \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(\omega) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(\omega)}\\ = & \ \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} {\color{orange}\sin^2\frac{\omega}{2}} d\omega \frac{\sin(j_1 + \frac{1}{2})\omega}{{\color{orange}\sin \frac{\omega}{2}}} \frac{\sin(j_2 + \frac{1}{2})\omega}{{\color{orange}\sin \frac{\omega}{2}}}\\ = & \ \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\sin 2\pi(j_1 - j_2)}{j_1 - j_2} - \frac{\sin 2\pi(j_1 + j_2)}{1 + j_1 + j_2}\right] = {\red{0}}, & j_1 \ne j_2\\ 1, & j_1 = j_2 \end{array} \right. \end{align*}

  • Rj\mathcal{R}_j 互不等价，且均为不可约表示。

正交归一

  • 推论：正交归一性：

    ∫SU(2)[dU]χRj1(U)χRj2(U)‾=δj1j2\int_{SU(2)}[dU] \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U)} = \delta_{j_1 j_2}

完备性

  • 定理：Rj\mathcal{R}_j 构成所有的 SU(2)SU(2) 不可约表示，相应的特征标具有完备性关系

    ∑j∈12NχRj(ω)χRj(ω′)‾=K(ω−ω′)\sum_{j \in \frac{1}{2}\mathbb{N}} \chi_{\mathcal{R}_j}(\omega)\overline{\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega')} = K(\omega - \omega')

    使得

    1π∫02πdω′sin⁡2ω′2K(ω−ω′)f(ω′)=f(ω)\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}d\omega' \sin^2 \frac{\omega'}{2} K(\omega - \omega') f(\omega') = f(\omega)

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 考虑自旋 j=0j = 0，对应 n=0n = 0

  • Rj=0\mathcal{R}_{j = 0}：SU(2)SU(2) 的平凡表示/标量 (scalar) 表示/单重态 (singlet)

    Rj=0(U)X=X∀X∈Rj,∀U∈SU(2)\mathcal{R}_{j = 0}(U) X = X \qquad \forall X \in \mathcal{R}_j, \quad \forall U \in SU(2)

  • dim⁡Rj=0=2j+1=1\dim \mathcal{R}_{j = 0} = 2j + 1 = 1

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 考虑 j=1/2j = 1/2，对应 n=1n = 1

  • Rj=12\mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}：SU(2)SU(2) 的基本 (fundamental) 表示/定义 (defining) 表示/旋量 (spinor) 表示/二重态 (doublet)

  • dim⁡Rj=12=2j+1=2\dim \mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}} = 2 j + 1 = 2。

  • 设 eα=1,2e_{\alpha = 1, 2} 为某套基底。则任意 X∈Rj=12X \in \mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}} 都可以写成

    X=Xαeα=X1e1+X2e2X = X^\alpha e_\alpha = X^1 e_1 + X^2 e_2

  • UU 的作用

    Xα→(UX)α=UαβXβU∈SU(2)X^\alpha \to (U X)^\alpha = U^\alpha{_\beta}X^\beta \qquad U \in SU(2)

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 考虑 ϵαβ\epsilon^{\alpha \beta} 与 ϵαβ\epsilon_{\alpha \beta}

    ϵ12= −ϵ21=1ϵ12=−ϵ21=−1ϵ11= ϵ22=ϵ11=ϵ22=0\begin{align*} \epsilon^{12} = & \ - \epsilon^{21} = 1 \qquad \epsilon_{12} = - \epsilon_{21} = -1\\ \epsilon^{11} = & \ \epsilon^{22} = \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0 \end{align*}

  • 直接验证

    ϵαβϵβγ=δαγϵαβϵβγ=δαγ\epsilon^{\alpha \beta}\epsilon_{\beta \gamma} = \delta{^\alpha}_{\gamma} \qquad \epsilon_{\alpha \beta}\epsilon^{\beta \gamma} = \delta{_\alpha}^{\gamma}

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 对 ∀X,Y∈Rj=12\forall X, Y \in \mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}，定义 「內积」

    ⟨X,Y⟩≔−ϵαβXαYβ=X1Y2−X2Y1\langle X, Y \rangle \coloneqq - \epsilon_{\alpha \beta}X^\alpha Y^\beta = X^1 Y^2 - X^2 Y^1

    反对称
    上述内积具有反对称性，⟨X,Y⟩=−⟨Y,X⟩\langle X, Y \rangle = - \langle Y, X \rangle

    负号只是个人喜好

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 定理：⟨UX,UY⟩=⟨X,Y⟩\langle UX, UY \rangle = \langle X, Y \rangle，∀U∈SU(2)\forall U \in SU(2)

    证明
    直接计算，记 X′=UXX' = UX，Y′=UYY' = UY

    ⟨UX,UY⟩= X′1Y′2−X′2Y′1= (U1αXα)(U2βYβ)−(U2αXα)(U1βYβ)= (U11X1+U12X2)(U21Y1+U22Y2) −(U21X1+U22X2)(U11Y1+U12Y2)\begin{align*} \langle UX, UY \rangle = & \ X'^1 Y'^2 - X'^2 Y'^1\\ = & \ (U^1{_\alpha}X^\alpha) (U^2{_\beta} Y^\beta) - (U^2{_\alpha}X^\alpha) (U^1{_\beta} Y^\beta)\\ = & \ (U^1{_1}X^1 + U^1{_2}X^2)(U^2{_1}Y^1 + U^2{_2}Y^2)\\ & \ - (U^2{_1}X^1 + U^2{_2}X^2)(U^1{_1}Y^1 + U^1{_2}Y^2) \end{align*}

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 定理：⟨UX,UY⟩=⟨X,Y⟩\langle UX, UY \rangle = \langle X, Y \rangle，∀U∈SU(2)\forall U \in SU(2)

    证明
    8 项中，有 4 项相互抵消，留下

    = U11U22X1Y2+U12U21X2Y1 −U21U12X1Y2−U22U11X2Y1= U11U22(X1Y2−X2Y1)−U21U12(X1Y2−X2Y1)= det⁡U×⟨X,Y⟩=⟨X,Y⟩\begin{align*} = & \ U^1{_1}U^2{_2}X^1 Y^2 + U^1{_2}U^2{_1}X^2 Y^1\\ & \ - U^2{_1}U^1{_2}X^1 Y^2 - U^2{_2}U^1{_1}X^2 Y^1\\ = & \ U^1{_1}U^2{_2} {\color{orange}(X^1 Y^2 - X^2 Y^1)} - U^2{_1}U^1{_2} {\color{orange}(X^1 Y^2 - X^2 Y^1)}\\ = & \ \det U \times {\color{orange}\langle X, Y \rangle} = \langle X, Y \rangle \end{align*}

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • 因此，从 Rj=12\mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}} 的元素 X,YX, Y 可以构造出 SU(2)SU(2) 标量，

    −ϵαβXαYβ- \epsilon_{\alpha \beta} X^\alpha Y^\beta

  • ϵαβ\epsilon_{\alpha\beta} 一定程度上是一种反对称的度规，可以用于升降指标、指标缩并。

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • Rj=1\mathcal{R}_{j = 1}：SU(2)SU(2) 的三重态表示/SO(3)SO(3) 矢量表示/伴随表示 (adjoint representation)

    伴随作用
    考虑 x^≔∑a=13xaσa\hat x \coloneqq \sum_{a = 1}^{3} x_a \sigma_a，则

    Ux^U−1=∑a=13xa′σaxa′=R(U)abxbU \hat x U^{-1} = \sum_{a = 1}^{3} x'_a \sigma_a \qquad x'_a = R(U)_{ab}x_b

    通过伴随作用 x^→Ux^U−1\hat x \to U \hat x U^{-1} 诱导三维矢量变换 xa→xa′x_a \to x'_a。

SU(2)SU(2) 的常见表示

  • Rj=1\mathcal{R}_{j = 1}：SU(2)SU(2) 的三重态表示/SO(3)SO(3) 矢量表示/伴随表示 (adjoint representation)

    SU(2)SU(2) 李代数
    由 Pauli 矩阵 σa\sigma_a 作为基底张成的线性空间，构成 SU(2)SU(2) 的李代数 su(2)\mathfrak{su}(2)。这个空间形成 SU(2)SU(2) 的三维伴随表示的表示空间。

    一般李代数
    任意李群 GG 必然有一个维度为 dim⁡G\dim G 的特殊表示称为伴随表示 g\mathfrak{g}。这个表示反映了李群的核心结构。这个表示自身同时形成一种新的代数结构，称为 李代数 (Lie algebra)。

SU(2)SU(2) 表示的忠实性

  • 考虑 j∈Zj \in \mathbb{Z}。则

     Rj(U(e⃗3,ω))=diag⁡(eimω)m=−j,…,+j∈Z⇒ Rj(U(e⃗3,0))=Rj(U(e⃗3,2π))⇒ Rj(1)=Rj(−1)\begin{align*} & \ \mathcal{R}_j (U(\vec e_3, \omega)) = \operatorname{diag}(e^{i m \omega})_{m = - j, \ldots, + j \in \mathbb{Z}}\\ \Rightarrow & \ \mathcal{R}_j(U(\vec e_3, 0)) = \mathcal{R}_j(U(\vec e_3, 2\pi))\\ \Rightarrow & \ \mathcal{R}_j(\mathbf{1}) = \mathcal{R}_j( - \mathbf{1}) \end{align*}

    因此，Rj∈Z\mathcal{R}_{j \in \mathbb{Z}} 是非忠实表示。

  • 当 j∈Z+12j \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}，

    Rj(1)=−Rj(−1)\mathcal{R}_j(\mathbf{1}) = - \mathcal{R}_j( - \mathbf{1})

    可以证明，Rj∈Z+12\mathcal{R}_{j \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}} 是忠实表示。

SU(2)SU(2) 表示的忠实性

  • Rj∈Z+12\mathcal{R}_{j \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}} 的矢量在 −1- \mathbf{1} 作用下发生非平凡变换：带非平凡的 Z2\mathbb{Z}_2-荷

    Rj(−1)v=−v\mathcal{R}_{j}(- \mathbf{1}) v = - v

    Z2\mathbb{Z}_2
    Z2={1,−1}⊂SU(2)\mathbb{Z}_2 = \{\mathbf{1}, - \mathbf{1}\} \subset SU(2)，是 SU(2)SU(2) 的中心。

SO(3)SO(3) 与旋量

  • SO(3)SO(3) 为特殊正交 3×33 \times 3 矩阵：(RT)abRbc=RbaRbc=δac(R^T)_{ab} R_{bc} = R_{ba}R_{bc} = \delta_{ac}

  • 设 R3\mathbb{R}^3 有正交归一基底 eae_a，则

    X=Xaea∀X∈R3X = X^a e_a \qquad \forall X \in \mathbb{R}^3

  • 考虑对 X∈R3X \in \mathbb{R}^3 的分量 XaX^a 做 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega) 变换

    Xa→X′a=R(n⃗,ω)abXb≔RabXbX^a \to X'^a = R(\vec n, \omega)_{ab}X^b \coloneqq {\color{orange}R_{ab} X^b}

  • 于是

     X=Xaea→X′=RabXbea≔Xbeb′⇒ 等价基底变换 eb′=Rabea\begin{align*} & \ X = X^a e_a \to X' = {\color{orange}R_{ab} X^b} e_a {\color{green}\coloneqq X^b e'_b}\\ \Rightarrow& \ \text{等价基底变换} \ e'_b = R_{ab}e_a \end{align*}

SO(3)SO(3) 与旋量

SO(3)SO(3) 与旋量

  • 下面研究电子自旋本征态

  • 电子自旋角动量算符 sa=ℏ2σas_a = \frac{\hbar}{2}\sigma_a 沿着 eae_a 测量角动量：

    eb→eb′=Rabeasb→sb′=Rabsae_b \to e'_b = R_{ab} e_a \qquad s_b \to s'_b = R_{ab}s_a

  • RabR_{ab} 可以用 Pauli 矩阵与 UU 表达：

    Rab=12tr⁡(U−1σaUσb)R_{ab} = \frac{1}{2}\operatorname{tr} (U^{-1} \sigma_a U \sigma_b)

SO(3)SO(3) 与旋量

  • 变换后的角动量算符

    (sb′)αβ=(Rabsa)αβ= 12tr⁡(U−1σaUσb)[ℏ2(σa)αβ]= ℏ212(σa)γδ(UσbU−1)δγ(σa)αβ= ℏ212(UσbU−1)δγ(−δαβδγδ+2δβγδαδ)= 0+ℏ2(UσbU−1)αβ\begin{align*} (s'_b)_{\alpha \beta} = (\purple{R_{ab}}s_a)_{\alpha \beta} = & \ \purple{\frac{1}{2} \operatorname{tr} (U^{-1}\sigma_a U \sigma_b)} \left[\frac{\hbar}{2} (\sigma_a)_{\alpha \beta}\right]\\ = & \ \frac{\hbar}{2} \frac{1}{2} {\color{orange}(\sigma_a)_{\gamma \delta}} (U \sigma_b U^{-1})_{\delta \gamma} {\color{orange}(\sigma_a)_{\alpha \beta}}\\ = & \ \frac{\hbar}{2} \frac{1}{2} (U \sigma_b U^{-1})_{\delta \gamma} {\color{orange}(- \delta_{\alpha \beta}\delta_{\gamma \delta} + 2 \delta_{\beta \gamma} \delta_{\alpha \delta})}\\ = & \ 0 + \frac{\hbar}{2} (U\sigma_b U^{-1})_{\alpha \beta} \end{align*}

SO(3)SO(3) 与旋量

  • 总结

    sb′=Rabsa=UsbU−1s'_b = R_{ab}s_a = U s_b U^{-1}

    双重身份
    体现了 sbs_b 的双重身份：既是“矢量” (由 a,ba, b 指标显示)，又是“算符” (作用在一个二维希尔伯特空间上)

SO(3)SO(3) 与旋量

  • sbs_b 的本征态 ψ\psi，sb′{\color{orange}s'_b} 的本征态 ψ′\psi'：

    UsbU−1Uψ=Usbψ=λUψ⇒ψ′=Uψ{\color{orange}U s_b U^{-1}} U \psi = Us_b \psi = \lambda U\psi \qquad \Rightarrow \qquad \psi' = U \psi

  • 总结：位置空间 R3\mathbb{R}^3 中作 SO(3)SO(3) 转动 X→R(U,ω)XX \to R(U, \omega)X，诱导角动量本征态 ψ\psi 做 SU(2)SU(2) 变换 ψ→Uψ\psi \to U \psi。ψ\psi 相对于 XX 称为 SO(3)SO(3) 旋量

    旋量
    旋量总是相对于一个 "位置空间" Rn\mathbb{R}^n 而言的。

    当 Rn\mathbb{R}^n 中作 SO(n)SO(n) 转动，ψ\psi 跟随做 Spin⁡(n)=SO(n)^\operatorname{Spin}(n) = \widehat{SO(n)} 变换，则称 ψ\psi 为 SO(n)SO(n)-旋量。

SO(3)SO(3) 与旋量

  • 考虑 ω∈[0,2π]\omega \in [0, 2\pi] 以及一系列转动 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega)

  • SO(3)SO(3) 转动以及诱导 SU(2)SU(2) 变换，

    X→R(n⃗,ω)Xψ→U(n⃗,ω)ψX \to R(\vec n, \omega) X \qquad \psi \to U(\vec n, \omega) \psi

  • 当 ω\omega 从零抵达 2π2\pi：XX 转一圈回到原值 XX，但是 ψ→−ψ\psi \to - \psi。

    2π2\pi
    对任意 n⃗\vec n，U(n⃗,2π)=−12×2U(\vec n, 2\pi) = - \mathbf{1}_{2 \times 2}。

  • 需要转两圈 ψ\psi 才回到原值。

群表示的直和

  • 给定群 (有限群、离散群或李群均可) GG 的任意两个表示 R1,R2\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2 (表示空间 V1,V2V_1, V_2)

  • 定义 GG 的 (以 V1⊕V2V_1 \oplus V_2 为表示空间) 直和表示 R1⊕R2\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2，

    (R1⊕R2)(g)(v1⊕v2)=R1(g)v1⊕R2(g)v2∈V1⊕V2(\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2)(g)(v_1 \oplus v_2) = \mathcal{R}_1(g)v_1 \oplus \mathcal{R}_2(g)v_2 \in V_1 \oplus V_2

群表示的直和

直和
什么是直和？

直和可以通过基底来理解。设 V1,V2V_1, V_2 的基底分别为 {ei}i=1n1\{e_i\}_{i = 1}^{n_1}，{Eα}α=1n2\{E_\alpha\}_{\alpha=1}^{n_2}，则 V1⊕V2V_1 \oplus V_2 的基底为

{ei⊕0,0⊕Eα ∣i=1,...,n1,α=1,...,n2}\{e_i \oplus \mathbf{0}, \mathbf{0} \oplus E_\alpha \ | i = 1, ..., n_1, \alpha = 1, ..., n_2\}

也可以简记为并集：合并基底

{ei ∣i=1,...,n1}∪{Eα ∣α=1,...,n2}\{e_i \ | i = 1, ..., n_1\} \cup \{E_\alpha \ | \alpha = 1, ..., n_2\}

群表示的直和

直和
利用合并基底，V1⊕V2V_1 \oplus V_2 中任意元素可以展开

v=∑i=1n1viei+∑α=1n2vα′Eαv = \sum_{i = 1}^{n_1} v_i e_i + \sum_{\alpha = 1}^{n_2} v'_\alpha E_\alpha

V1⊕V2V_1 \oplus V_2 中任意元素都可以写成 v1⊕v2v_1 \oplus v_2 的形式。

群表示的直和

直和空间

  • 直和 V1⊕V2V_1 \oplus V_2 作为线性空间与笛卡尔积 V1×V2V_1 \times V_2 同构，

    dim⁡(V1⊕V2)=dim⁡(V1×V2)=dim⁡V1+dim⁡V2\dim (V_1 \oplus V_2) = \dim (V_1 \times V_2) = \dim V_1 + \dim V_2

  • 没多大差别，直和强调 V1⊕V2V_1 \oplus V_2 中的元素可以做和差、数乘。

群表示的直和

  • 表示的直和可以用表示矩阵理解
  • 设 [R1(g)ij][\mathcal{R}_1(g)_{ij}] 和 [R2(g)αβ][\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] 为 R1\mathcal{R}_1 与 R2\mathcal{R}_2 的表示矩阵
  • 直和表示 R1⊕R2\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2 的表示矩阵为

    [R1(g)ij]⊕[R2(g)αβ]=([R1(g)ij][R2(g)αβ])[\mathcal{R}_1(g)_{ij}] \oplus [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] = \begin{pmatrix} [\mathcal{R}_1(g)_{ij}]\\ & [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] \end{pmatrix}

群表示的直和

  • 直和交换律：R1⊕R2≃R2⊕R1\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2 \simeq \mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_1

  • 直和结合律：(R1⊕R2)⊕R3=R1⊕(R2⊕R3)(\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2) \oplus \mathcal{R}_3 = \mathcal{R}_1 \oplus (\mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_3)

    等价但不相同
    符号 ≃\simeq 指代两个表示等价，但不一定是相同表示。

群表示的张量积

  • 考虑任意两个 GG-表示 R1\mathcal{R}_1，R2\mathcal{R}_2，表示空间为 V1,V2V_1, V_2。
  • 定义: 两个表示的张量积 R1⊗R2\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2，它以 V1⊗V2V_1 \otimes V_2 作为表示空间，且

    (R1⊗R2)(g)(v1⊗v2)=R1(g)v1⊗R2(g)v2∈V1⊗V2(\mathcal{R}_1\otimes \mathcal{R}_2)(g) (v_1 \otimes v_2) = \mathcal{R}_1(g) v_1 \otimes \mathcal{R}_2(g) v_2 \in V_1 \otimes V_2

群表示的张量积

张量积

什么是张量积？

可以从基底来理解。设 V1,V2V_1, V_2 的基底分别为 {ei}i=1n1,{Eα}α=1n2\{e_i\}_{i = 1}^{n_1}, \{E_\alpha\}_{\alpha = 1}^{n_2}，则 V1⊗V2V_1 \otimes V_2 的基底为

{ei⊗Eα∣i=1,...n1,α=1,...,n2}\{e_i \otimes E_\alpha | i = 1, ... n_1, \alpha = 1, ..., n_2\}

V1⊗V2V_1 \otimes V_2 中任意元素可以写成

v=∑i=1n1∑α=1n2viαei⊗Eαv = \sum_{i = 1}^{n_1} \sum_{\alpha = 1}^{n_2} v_{i\alpha} e_i \otimes E_\alpha

群表示的张量积

张量积
V1⊗V2V_1 \otimes V_2 中有一些特殊元素：张量积态

v=v1⊗v2=∑i=1n1∑α=1n2v1iv2αei⊗Eαv = v_1 \otimes v_2 = \sum_{i = 1}^{n_1}\sum_{\alpha = 1}^{n_2} v_{1i} v_{2\alpha} e_i \otimes E_\alpha

即分量可以进行分解 viα=v1iv2αv_{i\alpha} = v_{1i}v_{2\alpha}

群表示的张量积

维度
注意 dim⁡(V1⊗V2)=dim⁡V1×dim⁡V2\dim (V_1 \otimes V_2) = \dim V_1 \times \dim V_2。这与直积/笛卡尔积不同：dim⁡V1×V2=dim⁡V1+dim⁡V2\dim V_1 \times V_2 = \dim V_1 + \dim V_2。

群表示的张量积

  • 用表示矩阵理解张量积
  • 设表示 R1,2\mathcal{R}_{1, 2} 的表示矩阵为 [R1(g)ij][\mathcal{R}_1(g)_{ij}], [R2(g)αβ][\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}]
  • 则 R1⊗R2\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2 的表示矩阵为组分表示矩阵的张量积

    [R1(g)ij]⊗[R2(g)αβ]=(R1(g)11[R2(g)αβ]R1(g)12[R2(g)αβ]⋯R1(g)21[R2(g)αβ]R1(g)22[R2(g)αβ]⋯⋮⋮⋱)[\mathcal{R}_1(g)_{ij}] \otimes [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] = \begin{pmatrix} \mathcal{R}_1(g)_{11}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \mathcal{R}_1(g)_{12}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \cdots \\ \mathcal{R}_1(g)_{21}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \mathcal{R}_1(g)_{22}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

群表示的张量积

  • 张量积单位元：R⊗1=R\mathcal{R} \otimes \mathbf{1} = \mathcal{R}
    其中 1\mathbf{1} 代表 1 维平凡表示

  • 张量积交换律：R1⊗R2≃R2⊗R1\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2 \simeq \mathcal{R}_2 \otimes \mathcal{R}_1

  • 张量积结合律：(R1⊗R2)⊗R3≃R1⊗(R2⊗R3)(\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2) \otimes \mathcal{R}_3 \simeq \mathcal{R}_1 \otimes (\mathcal{R}_2 \otimes \mathcal{R}_3)

  • 分配律：R1⊗(R2⊕R3)≃(R1⊗R2)⊕(R1⊗R3)\mathcal{R}_1 \otimes (\mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_3) \simeq (\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2) \oplus (\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_3)

    等价但不相同
    符号 ≃\simeq 指代两个表示等价，但不一定是相同表示。

群表示的张量积

  • 给定有限群 GG，Rep⁡(G)≔\operatorname{Rep}(G) \coloneqq 全体 GG-表示形成一个张量范畴 (tensor category)

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 对于有限群 GG 的两个表示 R\mathcal{R}, R′\mathcal{R}'，其张量积可以分解为不可约表示的直和，

    R⊗R′≃⊕αmαR(α)\mathcal{R} \otimes \mathcal{R}' \simeq \oplus_{\alpha} m_\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}

    其中 R(α)\mathcal{R}^{(\alpha)} 是 GG 的不可约序列，mαm_\alpha 是分解的重数。
  • 对于 SU(2)SU(2) 的任意两个表示 R,R′\mathcal{R}, \mathcal{R}'，也有类似的分解，

    R⊗R′≃⊕j∈12NNjRj\mathcal{R}\otimes \mathcal{R}' \simeq \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_j \mathcal{R}_{j}

    其中 Rj\mathcal{R}_j 是 SU(2)SU(2) 的 spin-jj 不可约表示。

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 目标：求解重数 NjN_j。
  • 考虑最简单的情况：R=Rj1,R′=Rj2\mathcal{R} = \mathcal{R}_{j_1}, \mathcal{R}' = \mathcal{R}_{j_2}, j1,j2∈12Nj_1, j_2 \in \frac{1}{2} \mathbb{N}
  • 张量积特征标：对 ∀U∈SU(2)\forall U \in SU(2)

    χRj1⊗Rj2(U)=χRj1(U)χRj2(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}}(U) = \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U)

  • 另一方面，Rj1⊗Rj2≃⊕j∈12NNj1j2jRj\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \mathcal{R}_{j},

    χRj1⊗Rj2(U)=∑j∈12NNj1j2jχRj(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}}(U) = \sum_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \chi_{\mathcal{R}_j}(U)

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 于是

    χRj1χRj2=∑j∈12NNj1j2jχRj\chi_{\mathcal{R}_{j_1}} \chi_{\mathcal{R}_{j_2}} = \sum_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \chi_{\mathcal{R}_j}

  • 利用特征标正交归一关系，对任意 j3j_3，

     ∫SU(2)[dU]χRj1(U)χRj2(U)χRj3(U)‾= ∫SU(2)[dU]∑jNj1j2jχRj(U)χRj3(U)‾=∑j∈12NNj1j2jδjj3=Nj1j2j3\begin{align*} & \ \int_{SU(2)} [dU] \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_3}}(U)}\\ = & \ \int_{SU(2)} [dU] \sum_{j} N_{j_1 j_2}{^j} \chi_{\mathcal{R}_j}(U)\overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_3}}(U)} = \sum_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \delta_{j j_3} = N_{j_1 j_2}{^{j_3}} \end{align*}

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 定理：SU(2)SU(2) 不可约表示张量积的分解重数为

    Nj1j2j3=∫[dU]χRj1(U)χRj2(U)χRj3(U)‾N_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \int [dU] \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_3}}(U)}

    在 SU(2)SU(2) 里面，特征标是实的，复共轭可以省略；但对于更一般的 SU(N)SU(N) 群，特征标是复的，复共轭不可省略

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 具体而言，

    Nj1j2j3=1π∫02πsin⁡2ω2sin⁡(j1+12)ωsin⁡ω2sin⁡(j2+12)ωsin⁡ω2sin⁡(j3+12)ωsin⁡ω2dωN_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2} \frac{\sin(j_1 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{\omega}{2}} \frac{\sin(j_2 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{\omega}{2}} \frac{\sin(j_3 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{\omega}{2}}d\omega

  • 直接计算可得量子力学角动量叠加的选择定则，

    Nj1j2j3={1,j3=∣j1−j2∣,∣j1−j2∣+1,…,j1+j20,otherwiseN_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \left\{ \begin{array}{cc} 1, & j_3 = |j_1 - j_2|, |j_1 - j_2| + 1, \ldots, j_1 + j_2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right .

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 总而言之，

    Rj1⊗Rj2≃ ⊕j∈12NNj1j2jRj=⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Rj,χRj1(U)χRj2(U)= ∑j∈12NNj1j2jχRj(U)=∑j=∣j1−j2∣j1+j2χRj(U)\begin{align*} \mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq & \ \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \mathcal{R}_{j} = \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \mathcal{R}_j, \\ \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U) = & \ \sum_{j \in \frac{1}{2}\mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(U) = \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \chi_{\mathcal{R}_j}(U) \end{align*}

  • 或者，更具体而言，关于正弦函数的一个恒等式，

    sin⁡(j1+12)ωsin⁡12ωsin⁡(j2+12)ωsin⁡12ω=∑j=∣j1−j2∣j1+j2sin⁡(j+12)ωsin⁡12ω\frac{\sin (j_1 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega} \frac{\sin (j_2 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega} = \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \frac{\sin (j + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega}

SU(2)SU(2) 表示的张量积

jj 的求和范围

  • SU(2)SU(2) 的不可约表示的 jj 合法范围是 j=0,12,1,32,…j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots，因此

    Rj1⊗Rj2≃⊕j∈12NNj1j2j3Rj3\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^{j_3}} \mathcal{R}_{j_3}

  • 求和要穷尽所有 (无穷多个) j3=0,12,1,…j_3 = 0, \frac{1}{2}, 1, \ldots，但其中 Nj1j2j3N_{j_1 j_2}{^{j_3}} 只有有限项非零。

分解重数的基本性质

  • 全对称性

    Nj1j2j3=Nj2j1j3=Nj1j3j2N_{j_1 j_2}{^{j_3}} = N_{j_2 j_1}{^{j_3}} = N_{j_1 j_3}{^{j_2}}

    由积分式子：Nj1j2j3N_{j_1 j_2}{^{j_3}} 中的三个角动量是平权的。

分解重数的基本性质

  • 结合律: 由 (Rj1⊗Rj2)⊗Rj3≃Rj1⊗(Rj2⊗Rj3)(\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}) \otimes \mathcal{R}_{j_3} \simeq \mathcal{R}_{j_1} \otimes (\mathcal{R}_{j_2} \otimes \mathcal{R}_{j_3})

    ⇒ ∑jNj1j2jNjj3j′=∑jNj2j3jNj1jj′\Rightarrow \ \sum_{j} N_{j_1 j_2}{^j} N_{j j_3}{^{j'}} = \sum_{j} N_{j_2 j_3}{^j} N_{j_1 j}{^{j'}}

    说明
    直接计算

    ⊕jNj1j2jRj⊗Rj3≃Rj1⊗(⊕jNj2j3jRj)\oplus_{j} N_{j_1 j_2}{^j} \mathcal{R}_j \otimes \mathcal{R}_{j_3} \simeq \mathcal{R}_{j_1} \otimes (\oplus_{j} N_{j_2 j_3}{^j} \mathcal{R}_j)

    结合分配律，

    ⊕j′⊕jNj1j2jNjj3j′Rj′≃⊕j′⊕jNj2j3jNj1jj′Rj′\oplus_{j'} \oplus_j N_{j_1 j_2}{^j}N_{j j_3}{^{j'}}\mathcal{R}_{j'} \simeq \oplus_{j'} \oplus_j N_{j_2 j_3}{^j}N_{j_1 j}{^{j'}}\mathcal{R}_{j'}

分解重数的基本性质

  • 定义：对每一个 j1j_1，定义一个新的矩阵 Nj1N_{j_1}

    (Nj1)j2j3≔Nj1j2j3\green{(N_{j_1})_{j_2}{^{j_3}} \coloneqq N_{j_1 j_2}{^{j_3}}}

  • 利用交换律 Njj3j′=Nj3jj′N_{jj_3}{^{j'}} = N_{j_3 j}{^{j'}} 以及 Nj2j3j=Nj3j2jN_{j_2 j_3}{^j} = N_{j_3 j_2}{^j}，则结合律实际上是矩阵的对易关系

    ∑j(Nj1j2jNj3jj′−Nj3j2jNj1jj′)=[Nj1,Nj3]j2j′=0,∀j1,j2,j3,j′\sum_{j} (N_{j_1j_2}{^j}N_{j_3 j}{^{j'}} - N_{j_3 j_2}{^j}N_{j_1 j}{^{j'}}) = [N_{j_1}, N_{j_3}]_{j_2}{^{j'}} = 0, \qquad \forall j_1, j_2, j_3, j'

分解重数的基本性质

  • 「单位元」 R0=1\mathcal{R}_0 = \mathbf{1}，

    Rj=R0⊗Rj=Rj⊗R0≃⨁jN0jj′Rj′⇒N0jj′=δjj′\mathcal{R}_j = \mathcal{R}_0 \otimes \mathcal{R}_j = \mathcal{R}_j \otimes \mathcal{R}_0 \simeq \bigoplus_{j} N_{0j}{^{j'}} \mathcal{R}_{j'} \Rightarrow N_{0j}{^{j'}} = \delta_{j}^{j'}

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • SO(3)SO(3) 的不可约表示可以借助 SU(2)SU(2) 的不可约表示构造
  • 利用 R:SU(2)→SO(3)R: SU(2) \to SO(3)，任何一个 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega) 都有原像，

    U(n⃗,ω)U(\vec n, \omega)

  • 对于任意 SU(2)SU(2) 不可约表示 Rj\mathcal{R}_j，写出表示矩阵

    Rj(U(n⃗,ω))\mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega))

  • 试着直接把其中一个借给 SO(3)SO(3)，暴力构造 SO(3)SO(3) 的表示 RjSO(3)\mathcal{R}^{SO(3)}_j

    RjSO(3)(R(n⃗,ω))≔Rj(U(n⃗,ω))\green{\mathcal{R}^{SO(3)}_j(R(\vec n, \omega)) \coloneqq \mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega))}

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • 致命问题：当 j∈N+12j \in \mathbb{N} + \frac{1}{2}，SU(2)SU(2) 的表示满足

    Rj(U(n⃗,ω+2π))=Rj(−U(n⃗,ω))=−Rj(U(n⃗,ω))\mathcal{R}_j(\purple{U(\vec n, \omega + 2\pi)}) = \mathcal{R}_j(\purple{- U(\vec n, \omega)}) = - \mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega))

    从而迫使强行定义的 SO(3)SO(3) 表示满足

    RjSO(3)(R(n⃗,ω+2π))=−RjSO(3)(R(n⃗,ω))\red{\mathcal{R}^{SO(3)}_j(R(\vec n, \omega + 2\pi)) = - \mathcal{R}^{SO(3)}_j(R(\vec n, \omega))}

  • 换言之，倘若 j∈12+Nj \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}，这样定义的 RSO(3)\mathcal{R}^{SO(3)} 不是单值的

  • 幸运的是，当 j∈Nj \in \mathbb{N}，上述问题不出现

    RjSO(3)(U(n⃗,ω))=Rj(U(n⃗,ω))=Rj(−U(n⃗,ω))\mathcal{R}_j^{SO(3)}(U(\vec n, \omega)) = \mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega)) = \mathcal{R}_j(-U(\vec n, \omega))

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • 定理：SO(3)SO(3) 的不可约表示由 SU(2)SU(2) 的整数自旋不可约表示 Rj∈N\mathcal{R}_{j \in \mathbb{N}} 给出。

    SO(3)SO(3)
    SO(3)SO(3) 的表示刚好占了 SU(2)SU(2) 一半的表示，均为 SU(2)SU(2) 的非忠实表示。

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • 验证同态性:

    RjSO(3)(R(n⃗1,ω1))RjSO(3)(R(n⃗2,ω2))= Rj(U(n⃗1,ω1))Rj(U(n⃗2,ω2))= Rj(U(n⃗1,ω1)U(n⃗2,ω2))\begin{align*} \mathcal{R}_j^{SO(3)}(R(\vec n_1, \omega_1)) \mathcal{R}_j^{SO(3)}(R(\vec n_2, \omega_2)) = & \ \mathcal{R}_j(U(\vec n_1, \omega_1)) \mathcal{R}_j(U(\vec n_2, \omega_2))\\ = & \ \mathcal{R}_j\Big(U(\vec n_1, \omega_1) U(\vec n_2, \omega_2) \Big)\\ \end{align*}

  • 根据 SU(2)SU(2) 到 SO(3)SO(3) 的 2:1 同态，U(n⃗1,ω1)U(n⃗2,ω2)U(\vec n_1, \omega_1)U(\vec n_2, \omega_2) 对应 SO(3)SO(3) 群元

    Rj(U(n⃗1,ω1)U(n⃗2,ω2))=RjSO(3)(R(n⃗1,ω1)R(n⃗2,ω2))\mathcal{R}_j\Big(U(\vec n_1, \omega_1) U(\vec n_2, \omega_2) \Big) = \mathcal{R}_j^{SO(3)}(R(\vec n_1, \omega_1) R(\vec n_2, \omega_2))

  • 因此

    RjSO(3)(R(n⃗1,ω1))RjSO(3)(R(n⃗2,ω2))=RjSO(3)(R(n⃗1,ω1)R(n⃗2,ω2))\mathcal{R}_j^{SO(3)}(R(\vec n_1, \omega_1)) \mathcal{R}_j^{SO(3)}(R(\vec n_2, \omega_2)) = \mathcal{R}_j^{SO(3)}(R(\vec n_1, \omega_1) R(\vec n_2, \omega_2))

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • 对症下药：强行为每一个 SO(3)SO(3) 群元分配一个唯一的 j∈N+12j \in \mathbb{N} + \frac{1}{2} 的 SU(2)SU(2)表示矩阵，会如何？
  • 考虑如下的一个 22 维矩阵分配

    U(R(n⃗,ω))= U(n⃗,ω),ω∈[0,2π),U(R(n⃗,ω+2π))= U(n⃗,ω),ω∈[0,2π)U(R(n⃗,2π))=1\begin{align*} U(R(\vec n, \omega)) = & \ U(\vec n, \omega), \qquad \omega \in [0, 2\pi), \\ U(R(\vec n, \omega + 2\pi)) = & \ U(\vec n, \omega), \qquad \omega \in [0, 2\pi) \\ U(R(\vec n, 2\pi)) = \mathbf{1} \end{align*}

  • 单值性是 by construction 得到的

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • 检查

    U(R(n⃗,π)) U(R(n⃗,π))=U(n⃗,π)U(n⃗,π)=U(n⃗,2π)=−1U( R(n⃗,π)R(n⃗,π) )=U(R(n⃗,2π))=U(13×3)=1⇒U(R(n⃗,π))U(R(n⃗,π))=eπiU(R(n⃗,π)R(n⃗,π))\begin{align*} U(R(\vec n, \pi)) \ U(R(\vec n, \pi)) = U(\vec n, \pi)U(\vec n, \pi) = U(\vec n, 2\pi) = - \mathbf{1}\\ U( \ R(\vec n, \pi) R(\vec n, \pi) \ ) = U(R(\vec n, 2\pi)) = U(\mathbf{1}_{3\times 3}) = \mathbf{1}\\ \Rightarrow U(R(\vec n, \pi)) U(R(\vec n, \pi)) = \red{e^{\pi i}} U(R(\vec n, \pi) R(\vec n, \pi)) \end{align*}

  • 因此，违反群表示的乘法规则，多了一个因子 eiαe^{i\alpha}：

    U(R(n⃗1,ω1))U(R(n⃗2,ω2))=eiα(R(n⃗1,ω1),R(n⃗2,ω2))U(R(n⃗1,ω1)R(n⃗2,ω2))U(R(\vec n_1, \omega_1))U(R(\vec n_2, \omega_2)) = e^{i\alpha(R(\vec n_1, \omega_1), R(\vec n_2, \omega_2))} U(R(\vec n_1, \omega_1)R(\vec n_2, \omega_2))

SO(3)SO(3) 的不可约表示

  • 这种有限度地违反乘法规则的映射称为 投影表示 (projective representation)

    U(g1)U(g2)=eiα(g1,g2)U(g1g2)U(g_1)U(g_2) = e^{i \alpha(g_1, g_2)} U(g_1 g_2)

    投影表示里的相位因子一般来说是 g1,g2g_1, g_2 的 不连续 函数

  • 因此 SU(2)SU(2) 的半整数自旋表示实际上是 SO(3)SO(3) 的投影表示

SO(3)SO(3) 与球谐函数

  • 对任意 j∈Nj \in \mathbb{N}，可以考虑球谐函数

    Yjm(θ,φ)≔(−1)m2ℓ+14π(j−m)!(j+m)!Pjm(cos⁡θ)eimφY_{jm}(\theta, \varphi) \coloneqq (-1)^m \sqrt{\frac{2\ell + 1}{4\pi} \frac{(j - m)!}{(j + m)!}} P_{j}^m (\cos\theta)e^{i m \varphi}

    其中连带勒让德函数 PjmP^m_j 为

    Pjm(x)≔12jj!(1−x2)m2dj+mdxj+m(x2−1)jP_{j}^m(x) \coloneqq \frac{1}{2^j j!}(1 - x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^{j + m}}{dx^{j + m}} (x^2 - 1)^j

    m=−j,−j+1,⋯ ,j−1,jm = -j, -j + 1, \cdots, j - 1, j，j=0,1,2,⋯j = 0, 1, 2, \cdots

SO(3)SO(3) 与球谐函数

  • 正交归一关系

    ∫02πdφ∫0πsin⁡θdθ Yjm(θ,φ)Yj′m′(θ,φ)‾=δjj′δmm′\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^\pi \sin\theta d\theta \ Y_{j m}(\theta, \varphi) \overline{Y_{j' m'}(\theta, \varphi)} = \delta_{jj'} \delta_{mm'}

  • 完备性：球谐函数形成 S2S^2 上的平方可积函数空间 L2(S2)L^2(S^2) 的完备基底：

    f(θ,φ)=∑j=0+∞∑m=−j+jfjmYjm(θ,φ)f(\theta, \varphi) = \sum_{j = 0}^{+\infty}\sum_{m = -j}^{+j}f_{jm}Y_{jm}(\theta, \varphi)

SO(3)SO(3) 与球谐函数

  • 在转动 R∈SO(3)R\in SO(3) 作用下 ，YjmY_{jm} 按照 RjSO(3)\mathcal{R}_j^{SO(3)} 表示变换，

    Yjm(R−1(θ,φ))=∑m=−j+jRjSO(3)(R)mm′⏟Wigner matrixYjm′(θ,φ)Y_{jm}(R^{-1}(\theta, \varphi)) = \sum_{m = -j}^{+j} \underbrace{\mathcal{R}^{SO(3)}_j(R)_{mm'}}_\text{Wigner matrix} Y_{jm'}(\theta, \varphi)

  • 平方可积函数空间 L2(S2)=⊕j=0+∞RjSO(3)L^2(S^2) = \oplus_{j = 0}^{+\infty} \mathcal{R}^{SO(3)}_j，形成 SO(3)SO(3) 的无穷维 可约表示。

SO(3)SO(3) 与球谐函数

YjmY_{jm}

  • 考虑绕 zz 轴转动 ω\omega-角 R≔R(e⃗3,ω)R \coloneqq R(\vec e_3, \omega)

    (x,y,z)→(cos⁡(ω)x+sin⁡(ω)y,−sin⁡(ω)x+cos⁡(ω)y,z)(x, y, z) \to (\cos (\omega) x + \sin (\omega) y, -\sin(\omega)x + \cos(\omega)y, z)

  • 从而

    R(θ,φ)=(θ,φ−ω) ,R−1(θ,φ)=(θ,φ+ω)R(\theta, \varphi) = (\theta, \varphi - \omega) \ , \qquad R^{-1}(\theta, \varphi) = (\theta, \varphi + \omega)

  • 因而，利用 eim(φ+ω)=eimωeimφe^{im (\varphi + \omega)} = e^{im \omega} e^{im \varphi}，

    Yjm(R−1(θ,φ))=Yjm(θ,φ+ω)=eimωYjm(θ,φ)Y_{jm}( R^{-1} (\theta, \varphi)) = Y_{jm}(\theta, \varphi + \omega) = e^{i m \omega} Y_{jm}(\theta, \varphi)

SO(3)SO(3) 与球谐函数

YjmY_{jm}
这个变换跟之前的 ψjm\psi_{jm} 变换是一样的。

  • 总结：给定 jj，{Yjm ∣ m=−j,…,+j∈Z}\{Y_{jm} \ | \ m = -j, \ldots, +j \in \mathbb{Z}\} 形成 SO(3)SO(3) 的一个表示。

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

  • 不考虑自旋轨道耦合效应，氢原子的哈密顿量为

    H=p22m−e2rH = \frac{p^2}{2m} - \frac{e^2}{r}

    在空间转动下，p2→p2p^2 \to p^2，1r→1r\frac{1}{r} \to \frac{1}{r}，因此 HH 具有 SO(3)SO(3) 转动不变性。
  • 想象每个能级都是 SO(3)SO(3) 的 spin-jj 一个不可约表示，则一个能级的简并度大概应该是 2j+12j + 1：这不符合实验中 n2n^2, n=1,2,⋯n = 1, 2, \cdots 的简并度

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

电子波函数
回顾量子力学的内容。氢原子哈密顿量的本征波函数是

ψnjm(r,θ,φ)=Rnj(r)Yjm(θ,φ)\psi_{njm}(r, \theta, \varphi) = R_{nj}(r)Y_{jm}(\theta, \varphi)

其中 nn 是主量子数用于标定能级，同时控制轨道角动量 jj 的取值范围

j=0,1,2,…,n−1,∑j=0n−1(2j+1)=n2j = 0, 1, 2, \ldots, n - 1, \qquad \sum_{j = 0}^{n - 1} (2j+1) = n^2

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

非旋量
目前为止，未引入电子的二分量形式，只是把电子当成普通的"标量点粒子"看待，不是什么旋量

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

  • 实际上，由于电势的 1/r1/r 形式，HH 的对称性不止 SO(3)SO(3)，而是 SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2SO(4) = SU(2) \times SU(2)/\mathbb{Z}_2

    • 空间转动 SO(3)SO(3) 对应的守恒量是 3 个角动量
    • SO(4)SO(4) 中还有一个 SO(3)SO(3)，对应的守恒量是龙格楞次矢量

    龙格楞次矢量
    记势能为 −k/r- k /r，其中 kk 是常数，龙格楞次 (Runge–Lenz) 矢量定义为

    1mp⃗×L⃗−kx⃗r\frac{1}{m}\vec p \times \vec L - \frac{k \vec x}{r}

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

SO(4),SO(3),SU(2)SO(4), SO(3), SU(2)
有如下的李群同构

SO(3)×SO(3)= SO(4)/Z2=SU(2)Z2×SU(2)Z2SU(2)×SU(2)Z2diagonal= SO(4)\begin{align*} SO(3) \times SO(3) = & \ SO(4)/\mathbb{Z}_2 = \frac{SU(2)}{\mathbb{Z}_2} \times \frac{SU(2)}{\mathbb{Z}_2} \\ \frac{SU(2) \times SU(2)}{\mathbb{Z}^\text{diagonal}_2} = & \ SO(4) \end{align*}

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

  • 因此，一个能级其实是 SO(4)SO(4) 的不可约表示，看成是两个 SU(2)SU(2) 的表示的张量积，自旋为 (J,J)(J, J), J∈12NJ \in \frac{1}{2}\mathbb{N}，从而一个不可约表示的维度为

    (2J+1)2=12,22,33,⋯=n2(2J + 1)^2 = 1^2, 2^2, 3^3, \cdots = n^2

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

自旋 JJ 与 jj
给定一个主量子数 nn，可以定出 J∈12NJ \in \frac{1}{2}\mathbb{N}，定义为 J≔n−12J \coloneqq \frac{n - 1}{2}。

第 nn 能级本征空间相当于张量积表示 RJ⊗RJ\mathcal{R}_J \otimes \mathcal{R}_J，

RJ⊗RJ=R0⊕R1⊕⋯⊕R2J=⊕j=0n−1Rj\mathcal{R}_J \otimes \mathcal{R}_J = \mathcal{R}_0 \oplus \mathcal{R}_1 \oplus \cdots \oplus \mathcal{R}_{2J} = \oplus_{j = 0}^{n - 1} \mathcal{R}_j

总维度

∑j=0n−1(2j+1)=n2\sum_{j = 0}^{n - 1}(2j + 1) = n^2

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

  • 为了解释原子光谱的精细结构，意识到三个事情

    • 电子波函数是二分量
    • 自旋角动量 s⃗\vec s 是电子的一个可观测属性
    • 自旋角动量与轨道轨道角动量在氢原子中有耦合 s⃗⋅j⃗\vec s \cdot \vec j

    旋量
    自旋轨道耦合正式确定电子是一个旋量

    SO(3)SO(3) 对称性 ⇒\Rightarrow s⃗\vec s 和 j⃗\vec j 在空间转动下同时以同轴同角旋转

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

  • 为了解释原子光谱的精细结构，意识到三个事情

    • 电子波函数是二分量
    • 自旋角动量 s⃗\vec s 是电子的一个可观测属性
    • 自旋角动量与轨道轨道角动量在氢原子中有耦合 s⃗⋅j⃗\vec s \cdot \vec j

    相对论性
    自旋轨道耦合：Dirac 方程，相对论性方程

    相对论效应：核外静电场在高速电子看来幻化出磁场，与自身自旋磁矩耦合

氢原子，SO(3)SO(3) 与 SU(2)SU(2)

  • 为了解释原子光谱的精细结构，意识到三个事情

    • 电子波函数是二分量
    • 自旋角动量 s⃗\vec s 是电子的一个可观测属性
    • 自旋角动量与轨道轨道角动量在氢原子中有耦合 s⃗⋅j⃗\vec s \cdot \vec j

    相对论性

    • 原味的旋量的概念与相对论、洛伦兹对称性紧密锁定。

    • 非相对论性理论，通常不需要认真考虑旋量，顶多是「二分量」。

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 考虑两个 SU(2)SU(2) 的不可约表示的张量积 Rj1⊗Rj2\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}
  • 什么时候张量积中包含 SU(2)SU(2) 的平凡表示？
  • 根据

    Rj1⊗Rj2≃⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2j⏟=1Rj\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \underbrace{N_{j_1 j_2}{^{j}}}_{= 1} \mathcal{R}_j

    可知只有当 j1=j2j_1 = j_2 时，张量积中才会包含 Rj=0\mathcal{R}_{j = 0}。

SU(2)SU(2) 表示的张量积

  • 考虑三个不可约表示的张量积 Rj1⊗Rj2⊗Rj3\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \otimes \mathcal{R}_{j_3}
  • 该表示也是可约表示，可以重新分解为 SU(2)SU(2) 的不可约表示的直和，

    = (⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jRj)⊗Rj3= ⊕j=∣j1−j2∣j1+j2(⊕j′=∣j3−j∣j3+jNj1j2jNjj3j′Rj′)\begin{align*} = & \ (\oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} N_{j_1 j_2}{^{j}} \mathcal{R}_j) \otimes \mathcal{R}_{j_3} \\ = & \ \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \left(\oplus_{j' = |j_3 - j|}^{j_3 + j} N_{j_1 j_2}{^{j}} N_{j j_3}{^{j'}} \mathcal{R}_{j'}\right) \end{align*}

  • 其中所包含的 Rj′=0\mathcal{R}_{j' = 0} 的成分为

    ⊕j=∣j1=j2∣j1+j2Nj1j2jNjj30⏟=δj−j3,0R0=δj3∈{∣j1−j2∣,…,j1+j2}R0\oplus_{j = |j_1 = j_2|}^{j_1 + j_2} N_{j_1 j_2}{^{j}} \underbrace{N_{j j_3}{^{0}}} _{ = \delta_{j - j_3, 0}}\mathcal{R}_0 = \delta_{j_3 \in \{|j_1 - j_2|, \ldots, j_1 + j_2 \} }\mathcal{R}_0

SU(2)SU(2) 特征标与 root of unity

  • 回忆 SU(2)SU(2) 的自旋-jj 的不可约表示 Rj\mathcal{R}_j，其特征标为

    χRj(ω)=sin⁡(j+12)ωsin⁡12ω≔q2j+12−q−2j+12q12−q−12\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega) = \frac{\sin (j + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega} \coloneqq \frac{q^{\frac{2j + 1}{2}} - q^{- \frac{2j + 1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} - q^{- \frac{1}{2}}}

    其中 q≔eiωq \coloneqq e^{i \omega}。
  • 末尾这个表达式时常被称作 Rj\mathcal{R}_j 的 qq-维度，记作 dim⁡qRj\dim_q \mathcal{R}_j。显然，

    dim⁡qRj→q→1dim⁡Rj=2j+1\dim_q \mathcal{R}_j \xrightarrow{q \to 1} \dim \mathcal{R}_j = 2j + 1

    dim⁡qRj1dim⁡qRj2=∑j3=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2j3dim⁡qRj3\dim_q \mathcal{R}_{j_1} \dim_q \mathcal{R}_{j_2} = \sum_{j_3 =|j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} N_{j_1 j_2}{^{j_3}} \dim_q \mathcal{R}_{j_3}

SU(2)SU(2) 特征标与 root of unity

  • 考虑 ω=ωk≔2πk+2\omega = \omega_k \coloneqq \frac{2\pi}{k + 2}，k∈N>0k \in \mathbb{N}_{> 0}。

    level kk
    自然数 kk 是人为引入的一个新参数，称为 level。分母 k+2k + 2 的 +2+2 对应 SU(2)SU(2) 的 dual Coxeter number h∨(SU(2))=2h^\vee (SU(2)) = 2。

  • 此时 q=eiωk=e2πik+2q = e^{i \omega_k} = e^{\frac{2\pi i}{k + 2}} 是 11 的最基本的 k+2k + 2-次方根，常称为 a root of unity。

    χRj(ωk)=sin⁡(j+12)ωksin⁡12ωk=sin⁡(2j+1)πk+2sin⁡πk+2\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) = \frac{\sin (j + \frac{1}{2})\omega_k}{\sin \frac{1}{2}\omega_k} = \frac{\sin\frac{(2j + 1)\pi}{k + 2}}{\sin \frac{\pi}{k + 2}}

SU(2)SU(2) 特征标与 root of unity

  • 定理：张量积特征标的分解发生截断，

    χRj1(ωk)χRj2(ωk)= ∑j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jχRj(ωk)=∑j=∣j1−j2∣min⁡(j1+j2,k−j1−j2)Nj1j2jχRj(ωk)\begin{align*} \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(\omega_k) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(\omega_k) = & \ \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2}N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) = \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2)}N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) \end{align*}

  • 等价定理：

    ∑min⁡(j1+j2,k−j1−j2)+1j1+j2Nj1j2jχRj(ωk)=0\sum_{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2) + 1}^{j_1 + j_2}N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) = 0

SU(2)SU(2) 特征标与 root of unity

  • 等价定理：(令 J≔j1+j2J \coloneqq j_1 + j_2，以及利用 Nj1j2j=1N_{j_1j_2}{^j} = 1)

    ∑j=min⁡(J,k−J)+1Jsin⁡(2j+1)πk+2=0\sum_{j = \min(J, k - J) + 1}^{J}\sin\frac{(2j + 1)\pi}{k + 2} = 0

    证明

    分类讨论即可。分界线为 J=k−JJ = k - J。此时 min⁡(J,k−J)+1>J\min(J, k - J) + 1 > J，求和自动为零。

SU(2)SU(2) 特征标与 root of unity

证明

  • 倘若 J>k−JJ > k - J，则令 2J=k+N2J = k + N，N∈N≥1N \in \mathbb{N}_{\ge 1}。原求和为

    = ∑j=k−J+1Jsin⁡(2j+1)πk+2=ℓ=2j+1∑ℓ=k−N+3k+N+1sin⁡ℓπk+2=sin⁡(x−π)=−sin⁡xℓ→ℓ+(k+2) (−1)∑ℓ=−N+1N−1sin⁡ℓπk+2=0\begin{align*} = & \ \sum_{j = k - J + 1}^{J} \sin \frac{(2j + 1)\pi}{k + 2} \stackrel{\ell = 2j + 1}{=} \sum_{\ell = k - N + 3}^{k + N + 1}\sin\frac{\ell \pi}{k + 2}\\ \stackrel{\ell \to \ell + (k + 2)}{\underset{\sin (x - \pi) = - \sin x}{=}} & \ \quad (-1) \sum_{\ell = - N + 1}^{N - 1} \sin \frac{\ell \pi}{k + 2} = 0 \end{align*}

  • 类似地可以证明 J<k−JJ < k - J 的情况。

SU(2)SU(2) 特征标与 root of unity

  • 总结：当 q=e2πik+2q = e^{\frac{2\pi i}{k + 2}}，SU(2)SU(2) 特征标满足截断方程

    χRj1(ωk)χRj2(ωk)= ∑j=∣j1−j2∣min⁡(j1+j2,k−j1−j2)Nj1j2j⏟=1χRj(ωk)\chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(\omega_k) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(\omega_k) = \ \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2)} \underbrace{N_{j_1 j_2}{^j}}_{= 1}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k)

  • 截断仅仅对特征标适用。不可约表示的张量积依然是

    Rj1⊗Rj2=⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jRj\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} = \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2}N_{j_1 j_2}{^{j}}\mathcal{R}_j

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

  • 但是，的确存在一种新的代数结构，称为 SU(2)kSU(2)_k WZW 模型，其不可约表示之间的"积" ×\times 满足

    Rj1×Rj2=⊕j=02k2Nj1j2jRj=⊕j=∣j1−j2∣min⁡(j1+j2,k−j1−j2)Rj\mathcal{R}_{j_1} \times \mathcal{R}_{j_2} = \oplus_{j = \frac{0}{2}}^{\frac{k}{2}}\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j}} \mathcal{R}_j = \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2)}\mathcal{R}_j

  • 这种"积"称为 SU(2)kSU(2)_k WZW 的融合 (fusion)

    Fusion coefficient
    这里的 Nj1j2j3\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} 通常称为 fusion coefficients，具体取值为

    Nj1j2j3={1j3=∣j1−j2∣,…,min⁡(j1+j2,k−j1−j2)0otherwise\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & j_3 = |j_1 - j_2|, \ldots, \min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2) \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right.

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

  • 对于 k=1,2,3,…k = 1, 2, 3, \ldots，SU(2)kSU(2)_k WZW 模型的不可约表示自旋取值只能是

    j=0,12,…,k2j = 0, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{k}{2}

  • 因此，Nj1j2j3\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} 的三个指标的取值范围都只能在 0,12,…,k20, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{k}{2} 中取。

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

  • 与有限群不可约表示的张量积分解系数 NαβγN_{\alpha \beta}{^\gamma} 类似，N\mathcal{N} 也满足一系列有趣的性质。
  • 对称性，Nj1j2j=Nj2j1j\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^j} = \mathcal{N}_{j_2 j_1}{^j}，Nj1j2j3=Nj1j3j2\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \mathcal{N}_{j_1 j_3}{^{j_2}}。
  • 结合律，

    ∑j′=0/2k/2Nj1j2j′Nj′j3j4=∑j′=0/2k/2Nj2j3j′Nj′j1j4\sum_{j' = 0/2}^{k/2}\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j'}}\mathcal{N}_{j' j_3}{^{j_4}} = \sum_{j' = 0/2}^{k/2} \mathcal{N}_{j_2 j_3}{^{j'}} \mathcal{N}_{j' j_1}{^{j_4}}

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

量子维度
有一类物理系统的任意子 (anyon) 激发可以用 SU(2)kSU(2)_k WZW 模型描述。

(阿贝尔) 任意子统计

∣ψ1ψ2⟩=eiθ∣ψ2ψ1⟩|\psi_1 \psi_2\rangle = e^{i \theta} |\psi_2 \psi_1\rangle

  • θ=0\theta = 0 是玻色子，θ=π\theta = \pi 是费米子。

  • eiθe^{i\theta}：标记 BNB_N 的一维表示

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

量子维度 (quantum dimension)

  • SU(2)kSU(2)_k WZW 模型描述 j=0,12,1,32,…,k2j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots, \frac{k}{2} 共 k+1k + 1 种任意子

  • 在 S2=C∪{∞}S^2 = \mathbb{C} \cup \{\infty \} 上放 nn 个 jj-类 任意子：基态希尔伯特空间的维度是

    dim⁡Hj,n0=∑j1,j2,…Njjj1Njj1j2…Njjn−3j⏟n−2 个 N∼Njn−2\dim\mathcal{H}^0_{j,n} = \sum_{j_1, j_2, \ldots} \underbrace{\mathcal{N}_{jj}{^{j_1}}\mathcal{N}_{jj_1}{^{j_2}} \ldots \mathcal{N}_{jj_{n - 3}}{^{j}}}_{n - 2 \text{ 个 } \mathcal{N}} \sim \mathcal{N}_j^{n - 2}

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

量子维度 (quantum dimension)

  • 当 n→+∞n \to +\infty 时，上述希尔伯特空间的维度接近

    dim⁡(j,+∞)∼(max⁡(Nj 的本征值))n−2≔djn−2\dim(j, +\infty) \sim (\max{(\mathcal{N}_j \text{ 的本征值})})^{n - 2} \coloneqq d_j^{n - 2}

  • 其中 max⁡(Nj 的本征值)\max{(N_j \text{ 的本征值})} 称为 jj-类任意子的量子维度 djd_j。

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

  • 定理：jj-类任意子的量子维度可写成 SU(2)SU(2) 特征标

    dj=dim⁡qRj∣q=e2πik+2=χRj(ω=2πk+2)d_j = \dim_q\mathcal{R}_j|_{q = e^{\frac{2\pi i}{k + 2}}} = \chi_{\mathcal{R}_j}(\omega = \frac{2\pi}{k + 2})

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

基态空间

更一般地，一个亏格 (genus) gg 的黎曼曲面上有 nn 个任意子 (j1,…,jn)(j_1, \ldots, j_n) 时的基态希尔伯特空间的维度依然可以用 N\mathcal{N} 来计算。

比如，考虑环面 T2T^2 上放置一个 jj-型任意子。

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

基态空间
对环面进行 pants decomposition，分解为三孔球面与环柄的组合，

SU(2)SU(2) 特征标与任意子

量子维度

  • 利用 Pants decomposition，dim⁡H{j}0(Σg)\dim \mathcal{H}^0_{\{j\}}(\Sigma_g) 是一堆 N\mathcal{N} 矩阵的乘积。

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • 定义 SS-矩阵，

    Sj1j2≔ 2k+2sin⁡[πk+2(2j1+1)(2j2+1)]S_{j_1}{^{j_2}} \coloneqq \ \sqrt{\frac{2}{k + 2}} \sin \left[\frac{\pi}{k + 2} (2j_1 + 1)(2j_2 + 1)\right]

  • 可见

    χRj1(ω=2πk+2(2j2+1))=Sj1j2S0j2=Sj2j1S0j2\chi_{\mathcal{R}_{j_1}}\left(\omega = \frac{2\pi}{k + 2}(2j_2 + 1) \right) = \frac{S_{j_1}{^{j_2}}}{S_{0}{^{j_2}}} = \frac{S_{j_2}{^{j_1}}}{S_{0}{^{j_2}}}

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • 直接计算

    (S2)j1j2=δj1j2 ,Sj1j2=Sj2j1∈R(S^2)_{j_1}{^{j_2}} = \delta_{j_1} {^{j_2}} \ , \qquad S_{j_1}{^{j_2}} = S_{j_2}{^{j_1}} \in \mathbb{R}

  • 考虑矩阵

    Tj1j2=δj1j2e2πi[j1(j1+1)k+2−1243kk+2]T_{j_1}{^{j_2}} = \delta_{j_1}^{j_2} e^{2\pi i \left[\frac{j_1(j_1 + 1)}{k + 2} - \frac{1}{24} \frac{3k}{k + 2}\right]}

    则 S,TS, T 生成 模 (modular) 变换群 SL(2,Z)SL(2, \mathbb{Z})，

    S2=1,(ST)3=1S^2 = \mathbf{1}, \qquad (ST)^3 = \mathbf{1}

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • 定理：SS-矩阵与上述 fusion coefficients 满足 Verlinde formula，

    Nj1j2j3=∑j=0/2k/2Sj1jSj2j(S−1)jj3S0j\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \sum_{j=0/2}^{k/2} \frac{ S_{j_1}{^j}S_{j_2}{^j} (S^{-1})_{j}{^{j_3}} }{S_0{^j}}

    同时对角化
    Verlinde 公式的来源是 Nj\mathcal{N}_j 矩阵的对称性以及结合律，后者也带来对易关系 [Nj,Nj′]=0[\mathcal{N}_j, \mathcal{N}_{j'}] = 0，于是可以同时对角化。

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • 定理：矩阵 (Nj1)j2j3≔Nj1j2j3(\mathcal{N}_{j_1})_{j_2}{^{j_3}} \coloneqq \mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} 的本征值

    dj1j=Sj1jS0j=χRj1(2πk+2(2j+1)) ,j1,j=0,12,…,k2d_{j_1}{^j} = \frac{S_{j_1}{^j}}{S_{0}{^j}}= \chi_{\mathcal{R}_{j_1}} (\frac{2\pi}{k + 2}(2j + 1)) \ , \quad j_1, j = 0, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{k}{2}

说明
把对角化详细的矩阵元方程写出，使用交换律、结合律以及 N0jj′=δjj′\mathcal{N}_{0j}{^{j'}} = \delta_{j}{^{j'}}。

  • 定理：之前提到的 jj-类任意子量子维度 (Nj\mathcal{N}_{j} 的最大本征值)

    dj=dj0=χRj(ω=2πk+2)=Sj0S00=⟨Wj⟩d_j = d_j{^0} = \chi_{\mathcal{R}_j}(\omega = \frac{2\pi}{k + 2}) = \frac{S_{j}{^0}}{S_{0}{^0}} = \langle W_j\rangle

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • SU(2)SU(2) Chern-Simons 理论

    L=k4π∫Mtr⁡(AdA+23A3) ,k=1,2,3,…\mathcal{L} = \frac{k}{4\pi} \int_M \operatorname{tr} (A dA + \frac{2}{3} A^3) \ , \qquad k = 1, 2, 3, \ldots

    其中 AA 是 SU(2)SU(2) 规范场，MM 是一个三维流形 (如 S3S^3，S2×S1S^2 \times S^1)。k∈Nk \in \mathbb{N} 称为 Chern-Simons level。

    kk 的整性
    耦合常数 k∈Nk \in \mathbb{N} 用于保证当 MM 是闭合流形时，eiSe^{iS} 在规范变换下不变。

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • 三维 拓扑量子场论 (TQFT)：
    • 作用量与度规无关，只与 MM 的拓扑有关

      Z=∫[DA]eiSZ = \int [DA] e^{i S}

    • 配分函数与度规无关，只与 MM 的拓扑有关
    • 拓扑可观测量：Wilson loop 算符

      ⟨∏i=1nWji(Ci)⟩≔1Z∫[DA]eiS∏i=1ntr⁡Pexp⁡[∮CiA]\langle \prod_{i = 1}^{n} W_{j_i}(C_i)\rangle \coloneqq \frac{1}{Z} \int [DA] e^{i S} \prod_{i = 1}^{n} \operatorname{tr}\mathcal{P}\exp \left[\oint_{C_i}A \right]

Chern-Simons 理论与模变换

  • S3S^3 上 level-kk SU(2)SU(2) Chern-Simons 理论的配分函数

Z=S00Z = S_{0}{^0}

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • S3S^3 上 level-kk SU(2)SU(2) Chern-Simons 理论中一类 Wilson loop 的真空平均值 (unknot)

⟨Wj⟩=S0jS00=χRj(2πk+2)\langle W_{j} \rangle =\frac{S_{0}{^j}}{S_{0}{^0}} = \chi_{\mathcal{R}_j}(\frac{2\pi}{k + 2})

SU(2)SU(2) 特征标与模变换

  • Unitary Virasoro minimal model Mp,p+1M_{p,p + 1} 是一类最简单的二维共形场论，其中 p,p′≥2p, p' \ge 2 是互质的自然数。
  • 给定 pp 后，这些理论具有一系列不可约表示 Rr,s\mathcal{R}_{r, s}，其中

    1≤r≤p,1≤s≤p−1,(p+1)s<pr1 \le r \le p, \quad 1 \le s \le p - 1, \quad (p + 1)s < pr

  • Mp,p+1M_{p,p + 1} 中的模变换 SS-矩阵

    S(r,s)(u,v)=22p(p+1)(−1)1+su+rvsin⁡(πpp+1ru)sin⁡(πp+1psv)S_{(r, s)}{^{(u, v)}} = 2 \sqrt{\frac{2}{p (p + 1)}} (-1)^{1 + su + rv} \sin \left(\pi \frac{p}{p + 1}ru\right) \sin \left(\pi \frac{p + 1}{p} sv\right)

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • 每个 SU(2)SU(2) 的不可约表示可以用一个 杨图 (Young diagram) 表示来标记 (由剑桥大学数学家 Alfred Young 引入)，

    其中要求 合法 SU(2)SU(2) 杨图

    (1) 最多只有两行 (盒子向左向上对齐)

    (2) Y1≥Y2≥0Y_1 \ge Y_2 \ge 0

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • 给定任何一个杨图，可以计算对应的 SU(2)SU(2) 表示的维度

    在下方示意图图中考虑 N=2N = 2

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • 例：Y1=3,Y2=0Y_1 = 3, Y_2 = 0

    一行三个盒子对应的是 44 维不可约表示 Rj=32\mathcal{R}_{j = \frac{3}{2}}

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • Y1=nY_1 = n

  • dim⁡Rj=2j+1=n+1\dim \mathcal{R}_{j} = 2j + 1 = n + 1

  • 一行 nn 个盒子：对应 Rj=n2\mathcal{R}_{j = \frac{n}{2}}

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • 常见的单行杨图

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • Y1=2,Y2=1Y_1 = 2, Y_2 = 1

    对应 22 维不可约表示 Rj=12\mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • 一般两行杨图 Y1=m+nY_1 = m + n, Y2=mY_2 = m,

SU(2)SU(2) 不可约表示与杨图

  • 满减：满两行的列可以删掉

    代表相同的 Rj=2\mathcal{R}_{j = 2}

SU(2)SU(2) 表示的张量积与杨图

  • 张量积的不可约分解 RY⊗RY′\mathcal{R}_{Y} \otimes \mathcal{R}_{Y'} 可以用杨图来做
    • 把杨图化为单行杨图 (利用满减)
    • 任选两个杨图中的一个 (通常选简单的那个)，如 YY
    • 给 YY 的第一行格子全填上行号 11
    • YY 的同一行格子不作区分
    • 穷尽所有方式把 YY 的第一行格子全部移到 Y′Y' 上，并且保证形成的是合法 SU(2)SU(2) 杨图
    • 同行格子不能移到同列 (一列中不能出现相同行号)

SU(2)SU(2) 表示的张量积与杨图

  • 例子： Rj=2⊗Rj=1/2\mathcal{R}_{j = 2} \otimes \mathcal{R}_{j = 1/2}

SU(2)SU(2) 表示的张量积与杨图

  • 第一个杨图发生满减
  • 由此读出

    Rj=2⊗Rj=1/2=Rj=32⊕Rj=52\mathcal{R}_{j = 2} \otimes \mathcal{R}_{j = 1/2} = \mathcal{R}_{j = \frac{3}{2}} \oplus \mathcal{R}_{j = \frac{5}{2}}

    右边：33 个盒子，55 个盒子

SU(2)SU(2) 表示的张量积与杨图

  • 例子：Rj=2⊗Rj=1\mathcal{R}_{j = 2} \otimes \mathcal{R}_{j = 1}

SU(2)SU(2) 表示的张量积与杨图

  • 第一个和第二个杨图有满减
  • 读出

    Rj=2⊗Rj=1=Rj=1⊕Rj=2⊕Rj=3\mathcal{R}_{j = 2} \otimes \mathcal{R}_{j = 1} = \mathcal{R}_{j = 1} \oplus \mathcal{R}_{j = 2} \oplus \mathcal{R}_{j = 3}

    右边：22 个盒子，44 个盒子，66 个盒子